原码反码补码

整数

表示法

	正数	负数
真值	6	-6
原码	0 000 0110	1 000 0110
反码	0 000 0110	1 111 1001
补码	0 000 0110	1 111 1010

正数的表示相同，区别在负数上：

原码：对正数表示的最高位（符号位）取反。

反码：对正数表示的所有位取反。

补码：对正数表示的所有位取反，再当成普通二进制数加一（不区分符号位和其他位）。舍去溢出。

移码：把中间的数移为0

原码是最接近人类的表示思维，打标记，分类处理。

但是这样光是加法就有 正+正 / 正+负 / 负+负 三种情况要分类处理，对于计算速度不友好。

反码希望解决这个不统一的问题，解决思路很简单：对于负数，把所有位取反，得到1111…1-|负数|，那么随着绝对值的增长，正数和负数对称地从0向两边增长，这样正数加负数就正好相互抵消，于是可以统一处理加法。

但是它太过简单，以至于有很大的问题：对0取负，反码表示为 1111 1111，也就是说0同时有0000 0000和1111 1111两种表示（1111 1111就是0也说明了为什么负数表示为111…1 - 绝对值 有合理性）。了解代数的同学会知道，这直接导致加法没有单位元，不能成为同时能应用于正数和负数的运算。举个例子，任意数x加0应该还是它自己，但任意数x的二进制表示加1111 1111就不是它自己了。

补码延续这个思路解决了问题，它对负数的反码表示加一，让1111 1111溢出舍去，这样0的正数和负数又重合为一个0000 0000了。相当于把负半轴从0开始整体搬一位，让-0和0重合。因为只动了负半轴，所以从真值到补码的映射需要正负分开讨论，但映射到补码空间后，补码表示下的正数和负数运算不需要分开讨论。

注意到这样必然会有另一个数也和自己的负数补码表示相等，它是1000 0000，由目前合法的最大正数0111 1111加一或者最小负数1000 0001减一（加-1的补码1111 1111）得到，我们让它来表示最大正数或者最小负数都可以，不影响加法群的性质。计算机中让它表示最小负数$-2^{31}$，以便可以通过符号位判断是不是负数。

于是我们重新得到了加法群（本来自然码是0到$2^{32}-1$（1111 1111）的加法群，由补码表示映射到了$-2^{31}$到$2^{31}-1$的加法群）

如果我们不考虑演变，有更简单直达结果的方式：

考虑加法群$Z_{2^n}={0, …, 2^n-1}$，将后一半的数解释为其加法逆元的负数。

补码就是这种解释映射的数学写法。

小数

定点小数

已知小数点位置，也就是已知小数位数，则只需要按整数表示来，然后右移相应位数即可。

浮点小数

分为阶码和尾数部分，总长度固定即可。

阶码是整数，尾数是定点小数。

规格化：约定定点小数的表示范围，将不在这个范围的小数左右移到这个范围中，其中右移会有精度损失。

IEEE标准：

阶码是移码，尾数是补码，阶码放在尾数符号位和数值位之间。